للاستماع إلى المقالة:
لنلعب لعبةً بسيطة: اختر عددًا كاملًا
الأعداد الكاملة "Whole numbers" هي: (....,1,2,3)
طريقة اللعبة ستكون كالآتي: إذا كان العدد الذي اخترته فرديًا "odd number"، فإنّك ستضربه في 3 ،ثمّ ستضيف للناتج 1. أمّا إذا كان العدد زوجيًا "even number" فإنّك ستقسمه على 2. بعد ذلك خذ العدد الناتج،وطبّق عليه نفس القاعدة من جديد. بعدها خذ العدد الناتج من ذلك أيضًا وطبّق عليه نفس القاعدة واستمرّ على هذا المنوال.
قاعدة اللعبة ستكون كالآتي إذا كتبناها بشكل تعبيرٍ رياضيّ، مفترضين أنّ العدد الذي نختاره في إحدى الخطوات n، فسيكون الناتج بعد تطبيق القاعدة كالآتي:
فلنأخذ العدد 1 على سبيل المثال
1) العدد 1 عدد فردي لذلك سنضربه في 3، ثمّ سنضيف للناتج 1
2) العدد 4 عدد زوجي لذلك سنقسمه على 2
3) العدد 2 عدد زوجي لذلك سنقسمه على 2
والملاحظ أنّك لو طبقت القاعدة الآن على العدد 1، فإنّك سترجع من جديد للعدد 1، أي أنّه لن تحصل على أعدادٍ جديدة غير التي حصلت عليها من اللعبة. جرّب الآن هذه اللعبة مع أيّ عددٍ كاملٍ يخطر في بالك، ستجد أنّك دائمًا تصل للعدد 1. وهذا هو ما تنصّ عليه حدسية كولاتز.
قبل أن أكمل في الحديث عن حدسية كولاتز، ما الذي نقصده بالحدسية؟
الحدسية "conjecture" ببساطة هي عبارة لا أحد يعلم صحتها أم خطأها، فهنا إمّا أن يأتي أحدٌ بمثالٍ مضادّ "counter-example" فتكون عبارة خاطئة، أو أن يثبت أحدٌ صحتها فتكون نظريّة "Theorem".
إلى الآن لم يتم إثبات حدسية كولاتز، ولا حتي الإتيان بمثالٍ مضادٍّ لها، وصارت من أشهر المسائل غير المحلولة في الرياضيات، وقد بحث الناس عن مثالٍ مضادٍّ لها ،و في أثناء عملية البحث عن هذا المثال المضاد أثبتوا أنّ العبارة صحيحة لكل عددٍ إلى العدد
وبالرغم من معرفتنا بصحّة العبارة إلى هذا الرقم المهول، فهذا لا يعني بالضرورة صحتها لكل عدد، وهذا ممّا يبيّن لك عمق الرياضيات ودقتها.الأشخاص الذين قاموا بتجربة صحة العبارة، وضعوا كل عددٍ يحققها في شكل بياني يشبه الشجرة. نعرض هنا واحدة من هذه الأشجار.
سنة 2019 شخصٌ مجهول وضع تعليقًا على مدونة الرياضي المشهور ترنس تاو "Terence Tao" الفائز في الفيلدس ميدل "fields medal" الشهيرة، التي تعتبر مماثلة لجائزة نوبل ولكنّها خاصة بالرياضيات. التعليق كان يقترح فيه كاتبه أن يحاول ترنس تاو حلّ حدسية كولاتز لمعظم الأعداد بدلًا من كلها. هذا التعليق دفع ترنس تاو للعمل على حل المسألة، وبالفعل قام باستعمال إحدى التقنيات المستعملة لدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية "(Partial differential equations (PDEs"، إثبات أنّ نسبة %99 أو أكثر من الأعداد ستصل في النهاية إلى قيمة قريبة نسبيًا للعدد 1.هذا سمح له باستنتاج أنّ 99% من القيم الابتدائية "initial values" أكبر من كوادريليون (1015) ستصل في النهاية لقيمة تحت 200، وقد تكون هذه أعظم نتيجة في تاريخ هذه الحدسية.
الرياضيات تفاجئنا بمسائلها السهلة عند نظرنا لزواية السؤال لكن في جانب الحل تكون صعبة جدًا. إلى الآن لا نعلم صحّة هذه الحدسية التي يمكن لطالب ابتدائية فهمها. ألا يدعو ذلك للحيرة والاستغراب؟! مع ذلك قد يأتي المستقبل لنا بمسائل أشدّ غرابة.من يدري؟ قد تكون الشخص الذي يثبت هذه الحدسية، وإن لم ترد ذلك، فيمكنك اللعب بها مع الأهل والأصدقاء، وإبهارهم بهذه التحفة الجميلة.
المراجع:
1. UNCRACKABLE? The Collatz Conjecture - Numberphile - YouTube
2. Collatz Problem -- from Wolfram MathWorld
3. Mathematician Terence Tao and the Collatz Conjecture | Quanta Magazine
4. Fields Medal -- from Wolfram MathWorld
5. Conjecture -- from Wolfram MathWorld
كتابة:
صالح مهدي كاظم
"طالب رياضيات سنة ثالثة، مهتم بالرياضيات وبعض علوم اللغة العربية"
مراجعة وتدقيق:
نور أحمد اللصاصمة
"طالبة بكالوريوس نظم معلومات إدارية، مهتمة بعلم النفس، لغة الإشارة، القراءة، الذكاء الاصطناعي، تصميم مواقع الانترنت واللغات"
الحدسية تبدو صعبة عند النظر لكن عند التفكير فهي سهلة للغاية فا بطبيعة الحال لا يمكنك أن تذهب إلى الشرق وأنت تسير نحو الغرب يجب عكس الإتجاه وهذا مايتطلبه الأمر في حذسية كولاتز نعتبر أي عدد وقع في ذهنك هوا طريق العودة وأنت وصلت النهاية مسدودة كل ما عليك الرجوع وأنا أقصد الطريقة العكسية مثلا العدد 20 ثم 10(20÷2)ثم 5(10÷2)ثم 16((5×3)+1)ثم8(16÷2)ثم4(8÷2)ثم2(2÷2)ثم الرقم 1 هذا الرقم العظيم الذي لا يمكن تجاوزه فهوا الواحد الأحد الذي إتصف به الله حدسية كولاتز قال إختر أي رقم فحتما سيعود إلى الواحد هكذا هوا الكون وكل شيئ يعود إلى إلا الله هل تعلم أن لا حول ولا قوة إلا بالله تعني أن كل شيئ ساكن ومتحرك هوا بحول وقوة الله وبمشيئته لو تمعنتم لوجدتم الحو…