هل تساءلت يومًا ما الذي يمّيز العددين e و π عن غيرهما من الأعداد؟ يعتبر هذان العددان من أهمّ الأرقام في الرياضيات، والتي تستعمل بكثرة، وهناك الكثير من الخواص التي تميّز هذين العددين عن غيرهما لكن سنتعرض لإحداها هنا وهي أنّهما عددان متساميان، لكن ما هو العدد المتسامي وما الذي يميّزه عن سواه؟
كي نتعرّف على الأعداد المتسامية، نذكّرك بمجموعات الأعداد (sets of numbers) التي هي مألوفة لدينا أكثر والتي تعلّمناها خلال المدرسة والجامعة:
1) مجموعة الأعداد الطبيعية (The set of natural numbers):
N={1,2,3,4,…}
2) مجموعة الأعداد الكاملة (The set of whole numbers):
W={0,1,2,3,4,…}
3) مجموعة الأعداد الصحيحة (The set of integers):
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
4) مجموعة الأعداد النسبيّة (The set of rational numbers):
Q={a/b|a,b∈Z,b≠0}
5) مجموعة الأعداد غير النسبيّة (The set of irrational numbers): وهي الأعداد التي لا يمكن كتابتها على شكل نسبة (كسر) تتكون من عددين صحيحين مثل:
√2,π,e
6) مجموعة الأعداد الحقيقيّة (The set of real numbers): وهي التي تتكوّن من الأعداد النسبية والأعداد غير النسبيّة، ونرمز لها بالرمز R.
7) مجموعة الأعداد المركّبة (The set of complex numbers): وهي التي يمكن تعريفها كالآتي:
C={a+bi|a,b∈R,i= √-1}
*ملاحظة: بعض علماء الرياضيات يعتبرون الصفر عددًا طبيعيًا فتكون مجموعة الأعداد الطبيعية بادئة من الصفر، ولكنّ بعضهم لم يقبل ذلك فعرّفوا مجموعة أعداد جديدة اسمها الأعداد الكاملة، وهي تتكون من الصفر والأعداد الطبيعية، ومن هنا قد تلاحظ اختلاف في الصور التي سنعرضها عن الذي شرحناه سابقًا، وذلك بناءً على اختلاف العلماء في هذه النقطة.
معظم الأعداد التي نعرفها في هذه المجموعات تكون حلولاً لمعادلات كثيرات حدودٍ معاملات حدودها أعداد صحيحة.
*تذكير: معادلة كثيرة الحدود (Polynomial equation) هي أي معادلة يمكن كتابتها على الصورة:
ونسمي الأعداد:
معاملات (coefficients)
نقول أنّ العدد x حلّ (solution) للمعادلة (كثيرة الحدود في حالتنا هذه) إذا كان يحقّق التعويض به في المعادلة عبارة صحيحة
لاحظ الأمثلة التالية:
نسمّي العدد الذي يكون حلًا لكثيرة حدودٍ معاملات حدودها أعدادٌ صحيحة عددًا جبريًّا (algebraic number). نسميّ العدد غير الجبريّ، أي الذي لا يكون حلًا لكثيرة حدودٍ معاملات أعدادها صحيحة عددًا متساميًا (transcendental number).
من أشهر الأمثلة على الأعداد المتسامية العددان المشهوران e,π ومن الأمثلة أيضًا e^π وقد أُثبِت أنّ العدد e^a عددٌ متسامٍ لكلّ عدد a جبريّ غير صفريّ، فمثلًا e^2, e^-3, e^-i كلّها أعداد متسامية. أيضًا العدد (ln(2 عددٌ متسامٍ.
إثبات كون عددٍ ما متساميًا أمرٌ صعبٌ جدًّا، وهناك الكثير من الأعداد التي إلى الآن لا نعلم هل هي متسامية أم لا، منها:
اكتشاف وجود الأعداد المتسامية حلّ أحد المسائل العالقة التي ظلّت من دون حل لآلاف السنين، وبالتحديد منذ عهد اليونان القديمة، وهي تربيع الدائرة، وهي تسأل: هل يمكنك باستعمال المسطرة والفرجار فقط إنشاء مربعٍ مساحته نفس مساحة دائرةٍ معيّنة. لسنينٍ طوال ظلّ هذا السؤال دون إجابة لكن بعد اكتشاف وجود الأعداد المتسامية، وكون العدد عددًا متساميًا تمّ إثبات استحالة ذلك.
الجدير بالذكر أنّ حجم مجموعة الأعداد المتسامية أكبر بكثير من حجم مجموعة الأعداد الجبرية، بحيث أنّ عدد الأعداد الجبرية يكاد لا يُذكَر مقارنةً بالأعداد المتسامية، وهذا لم نكن لنعرفه لو لم نكتشف الأعداد المتسامية، والذي أتى متأخّرًا (القرن 19)، وهذا- لو دقّقت النظر- من الأشياء العجيبة. هناك عدّة أحجام للّانهايات (sizes of infinity) وحجم لانهاية الأعداد الجبرية يسمّى لانهايةً قابلةً للعدّ (countable infinity)، وهي تمثّل أصغر حجمٍ ممكنٍ للّانهايات، بينما حجم نهاية الأعداد المتسامية يسمّى لانهايةً غير قابلةٍ للعدّ (uncountable infinity)، والواضح أنّ اللانهاية غير القابلة للعدّ أكبر بكثير من اللانهاية القابلة للعدّ.
من المعلومات الطريفة أيضًا أنّ علماء الرياضيات أثبتوا وجود الأعداد المتسامية قبل سبع سنوات من اكتشاف مثالٍ عليها.
هناك الكثير من التساؤلات التي قد ترد على الأذهان: هل سنتمكن من اكتشاف طريقة لإثبات كون الأعداد متسامية بشكل أسهل؟ هل هناك خواصٌ أكثر غرابةٍ لهذه الأعداد ممّا نعرفه؟ هل سنتمكّن من اكتشاف أعداد متسامية أكثر ممّا اكتشفناه؟ هل هناك أعدادٌ مثيرة للاهتمام أكثر من هذه الأعداد؟ المستقبل مجهول، ولكنّ مجرّد توقّع حصول هذه الأشياء يملأ الإنسان بالحماس والترقّب للاكتشافات المبهرة في المستقبل.
المراجع:
1. Transcendental Numbers – Numberphile
2. Transcendental Numbers (extra footage) – Numberphile
3. Squaring the Circle –Numberphile
4. All the Numbers - Numberphile
كتابة:
صالح مهدي كاظم
"طالب رياضيات سنة ثالثة، مهتم بالرياضيات وبعض علوم اللغة العربية"
مراجعة وتدقيق:
محمد أحمد عايش
بحثت في الموضوع ولم أجد شيئًا. لا شيء يثبت أنّ العدد ln (ln 2
عدد جبري أو متسامٍ، ويبدو أنّ هناك خللًا في إثباتي الذي وضعته في التعليقات السابقة.
كيف يمكن إثبات كون ln(ln2) جبريا؟
أعتقد أن السؤال عن ln(ln2) لم تتم الإجابة عنه بعد
بالنسبة للمعلومة إنّ واحدًا على الأقل من العددين e+pi و e*pi متسامٍ فإنّي كنت أعرفها ولكن ترددت هل أضعها في المقال أم لا، وبعدها قررت عدم فعل ذلك.
نشكرك على اهتمامك وتعليق الجميل.
أولاً أنا قصدت العدد ln 2 الذي تمّ إثبات أنّه متسامٍ لكن يبدو أنّه حصل خطأٌ مطبعيّ وصار ln ln 2. أمّا العدد ln ln2 فهو جبريٌّ وليس متساميًا ويمكن إثبات ذلك بالمعلومات المكتوبة في المقال نفسه.
بالنسبة للأعداد غير القابلة للحساب فإنّي بحثت عنها من قبل ولكن لم أحس إني فهمتها لذلك تركتها وأمّا الأعداد غير القابلة للتعريف فلم أسمع عنها حتى الآن وشكرًا على إطلاعي بوجودها وسأبحث عنها بإذن الله. في النهاية أشكر لك تعليقك الجميل ونتمنى أن نرى مثله في مواضيع أخرى.
أود إبداء بعض التعليقات.
1- العدد ln(ln2) لا يعرف ما إذا كان متساميا أم لا حتى الآن. إذا كنت تمتلك إثباتا فأرجو مشاركته (:
2- نعرف أنه على الأقل واحد من العددين e*pi, e+pi متسامي.
و جوابا على أحد التساؤلات المطروحة أخيرا:
noncomputable real numbers
Undefinable real numbers
ربما تكون مثيرة للإهتمام بشكل أكبر.
https://en.wikipedia.org/wiki/Computable_number
https://mathoverflow.net/questions/44102/is-the-analysis-as-taught-in-universities-in-fact-the-analysis-of-definable-numb