قياس الزوايا (measuring angles) شيءٌ مهمٌّ في مسائل الرياضيات والعلوم بشكلٍ عام، ومن أشهر الوحدات في قياسه وحدتا الدرجات(degrees) والراديان (Radians). فما الفرق بينهما؟ وهل هناك داعٍ لوجود أكثر من وحدة لقياس الزاوية؟
أولًا : وحدة الدرجات
على الأرجح أنّ هذه الوحدة مألوفة لديك، و هي التي تعلّمتها أولًا في المدرسة. عندما تأخذ دائرةً وتقسّمها إلى 360 جزءًا متساويًا، يكون كلّ جزءٍ منها يحوي زاويةً قياسها درجة واحدة. يرمز لوحدة الدرجات بالرمز °، فمثلًا °30 يعني 30 درجة.
ثانيًا: وحدة الراديان(radian)
خذ أيّ نصف قطر(radius) في الدائرة ثمّ على محيط الدائرة (circumference) ارسم قوسًا بنفس طول نصف القطر، بحيث يبدأ من نفس النقطة التي يمسّ فيها نفس القطر الذي اخترته، ثمّ بعد ذلك خذ نقطة نهاية هذا القوس وصِلْها بمركز الدائرة. هكذا تتكون عند زاوية قياسها راديان واحد. أعلم أنّ تعريف الراديان قد يبدو معقّدًا بعض الشيء لكن ببساطة هو قياس الزاوية عندما يكون طول قوس الدائرة مساويًا لطول نصف القطر، ولعلّ هذه الصورة توضّح الموضوع بشكلٍ أوضح:
يرمز للزاوية المقيسة بوحدة الراديان ب(rad) والدورة الواحدة في الدائرة تكوّن زاوية قياسها . وغالبًا ما يحذف الرمز (rad) فنقول 1 , 2 , π , 3π/2 ونقصد بكلّ واحدةٍ منها قياس الزاويا بوحدة الراديان.
واضحٌ أنّ قياس الزوايا بالدرجات أسهل وأوضح وأجمل، ولا ترى أحدًا يحمل معه منقلة(أداة لقياس الزوايا) تعتمد في قياساتها على وحدة الراديان. إذًا لماذا نستعملها، وبل ونفضّلها على وحدة الدرجات.
في الواقع بدأت أهميّة وحدة الراديان عند ظهور علم التفاضل والتكامل (calculus)، وبسّطت الكثير من العلاقات الرياضية الموجودة فيها. نذكر على سبيل المثال لا الحصر واحدةً منها:
هذه العلاقة أمامك من العلاقة المهمة في علم التفاضل والتكامل، وهي صحيحة عندما تكون الزاوية θ مقيسة بوحدة الراديان. ماذا لو حولنا هذه المتطابقة بدلالة وحدة الدرجات.
تذكّر أنّه يمكنك التحويل بين وحدتي الدرجات والراديان باستعمال العلاقة:
أي أنّه للتحويل من الدرجات إلى الراديان نضرب في °π/180 وللتحويل من الراديان للدرجات نضرب في
180°/π
لاحظ الآن:
الآن باستعمال قاعدة السلسلة(chain rule) نستنتج أنّ
لاحظ وقارن بين العلاقة عندما يكون قياس الزاوية بالراديان وعندما يكون قياسها بالدرجات. لهذا السبب نفضّل استعمال قياس الزويا بالردايان في علم التفاضل والتكامل.
وهذا مثالٌ من الأمثلة، وإلّا فالعديد من العلاقات السهلة في علم التفاضل والتكامل تصير معقّدة إذا استعملنا وحدة الدرجات بدل الراديان في قياس الزاوية.
مع قول ذلك فعندما لا يرتبط الأمر بالتفاضل والتكامل فاستعمال وحدة الدرجات أفضل.
سببٌ آخر قد يدعو إلى استعمال وحدة الراديان بدل الدرجات، هو اعتباطية الرقم 360 الذي يعتمد عليه القياس بهذه الوحدة، و السبب يرجع في استعمال العدد 360 دون غيره إلى أنّ أيام السنة( 365 وربع يوم) تقريبًا تساوي 360،وذلك يعود لأيام البابلين الذين اعتمدوا النظام الستيني( الدقيقة ستون ثانية والساعة 60 دقيقة، وهكذا)، وهذا الأمر لا ارتباط به بالدائرة، بينما قياس الراديان الذي يعتمد على نصف قطر الدائرة وأقواسها يمثل وحدةً طبيعية أكثر.
سواءً كنت تستعمل الدرجات أو الراديان لقياس الزاويا عليك أن تكون حذرًا في أيّ سياقٍ تستعمل أيًّا منهما فرغم أنّ كليهما يحسب نفس الشيء( قياس الزاوية)، إلّا أنّهما قد يتصرّفان بشكلٍ مغايرٍ عن بعضهما البعض حسب السياق الذي يُوضَعان فيه.
المصادر:
1- Why We Use Radians In Calculus? - YouTube
2- Degrees vs. Radians – Math with Bad Drawings
3- Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians – BetterExplained
كتابة:
صالح مهدي كاظم
"طالب رياضيات سنة ثالثة، مهتم بالرياضيات وبعض علوم اللغة العربية"
Commentaires